Die Mathematik, die Newton in die Quantenwelt entführt

In meinen 43, die zu ehrwürdig sind, um sich in eine sachkundige zu verwandeln, werde ich, wenn die Wahrheit gesagt wird, endlich in die algebraische Geometrie verliebt sein. Weil der Titel andeutet, ist dies der Blick der Geometrie auf die Verwendung von Algebra. Rund 1637 legte René Descartes den Grundstein für dieses Feld, indem er ein Flugzeug nahm, im Geiste ein Gitter darauf zeichnete, wie wir es jetzt mit Millimeterpapier zusammensetzen, und die Koordinaten x und nannte y. Wir können eine Gleichung wie x2 + y2=1 aufschreiben, und es scheint eine Kurve zu geben, die aus Faktoren besteht, deren Koordinaten dieser Gleichung entsprechen. In diesem Fall beschaffen wir einen Kreis! Es verwandelte sich zu dieser Zeit in einen modernen Begriff und ermöglichte es uns, Fragen zur Geometrie systematisch in Fragen zu Gleichungen umzuwandeln, die wir lösen können, wenn wir in der Algebra exzellent genug sind. Einige Mathematiker erschöpfen auf diesem majestätischen Feld ihr gesamtes Leben. Nichtsdestotrotz weiß ich es, wenn man die Wahrheit sagt, nur zur Zeit zu schätzen – jetzt, wo ich es mit meinem Hobby in der Quantenphysik in Verbindung gebracht habe. Wenn wir in der Lage sind, einfache Programme auszuwählen, um die Topologie in Algebra zu verkleinern, muss es dienen uns formulieren einen Begriff der Quantengravitation. Als Kind schätzte ich Physik besser als Mathematik. Mein Onkel Albert Baez, Vater der großen Sängerin Joan Baez, arbeitete für die UNESCO und half beim Aufbau von Ländern mit Physik-Training. Meine Scheißkerle lebten in Washington, DC. Zu jeder Zeit, wenn mein Onkel direkt in die Stadt kam, schleuderte er seinen Koffer, holte Magnete oder Hologramme heraus und brachte ihnen bei, mir die Physik mitzuteilen. Dies änderte sich in charmant. Als ich auf 8 umgestiegen bin, hat er mir eine Reproduktion des von ihm verfassten Lehrbuchs für Physik gegeben. Obwohl ich es nicht verstehen konnte, wusste ich sachlich, dass ich es wollte. Ich habe mich entschlossen, mich in einen Physiker zu verwandeln, und meine Nebelschwaden waren mickrig, weil sie wussten, dass Physiker Mathematik wollten, und ich sah darin nicht besonders gut aus. Ich stolperte über eine lange, unerträgliche Division und weigerte mich, meine Mathe-Hausaufgaben mit ihren endlosen Wiederholungsübungen zusammenzustellen. Später, als mir klar wurde, dass ich durch das Herumspielen von Gleichungen das Universum studieren kann, wurde ich gebeugt. Die mysteriösen Symbole gaben den Einfluss von Zaubersprüchen. Und in einem Modus sind sie. Wissenschaft ist die Magie, die funktioniert, wenn man die Wahrheit sagt. An der Fakultät habe ich mich mit Mathematik befasst und bin Routine geworden, was die Frage des theoretischen Physikers Eugene Wigner nach der „unvernünftigen Wirksamkeit“ der Mathematik betrifft: Warum kann unser Universum darüber hinaus so leicht von mathematisch lizenzierten Richtlinien beherrscht werden? Dabei ist „das Wunder der Angemessenheit der Sprache der Mathematik für das System der lizenzierten Richtlinien der Physik eine schillernde Belohnung, die wir weder wahrnehmen noch verdienen.“ Als jugendlicher Optimist fühlte ich, dass diese lizenzierten Richtlinien uns geben würden Ein Hinweis auf das tiefere Rätsel: Warum das Universum im ersten Dilemma von mathematisch lizenzierten Richtlinien beherrscht wird. Ich wusste bereits, dass es eine zu würdige Mathematik gab, um alles zu lernen, und so versuchte ich im Grad College, mich auf das zu konzentrieren, was für mich wichtig war. Und ein Faktor, der mir jetzt nicht zum Thema wurde, verwandelte sich in algebraische Geometrie. Wie kann sich darüber hinaus ein Mathematiker nicht mehr in die algebraische Geometrie verlieben? Hier ist der Grund: In diesem Feld werden die auffälligsten Polynomgleichungen betrachtet – Gleichungen, die keine tatsächlichen Kurven mehr bejahen, sondern höherdimensionale Formen, die als „Arten“ bezeichnet werden. Also ist x2 + y2=1 großartig und so ist x 43 – 2xy2=y7, aber eine Gleichung mit Sinus oder Cosinus oder anderen Funktionen ist unbegrenzt – es sei denn, wir sind in der Lage, dies zu tun eine Auswahl einfacher Programme, um sie in eine Gleichung mit faktischen Polynomen umzuwandeln. Als Absolvent hatte dies den Einfluss einer schrecklichen Einschränkung. Trotz der Gesamtmenge haben physikalische Probleme zahlreiche Funktionen, die keine Polynome sind. Dafür gibt es ein Polynom: Wir können viele aufmerksamkeitsstarke Kurven mit faktischen Polynomen bestätigen. Rollen Sie zur Veranschaulichung einen Kreis innerhalb eines Kreises in drei Fällen als bergig. Sie erhalten eine Kurve mit drei hellen Ecken, die als “Deltamuskel” bezeichnet werden. Es ist nicht mehr offensichtlich, dass Sie die Verwendung einer Polynomgleichung anscheinend gut bestätigen, aber anscheinend werden Sie es gut. Der immense Mathematiker Leonhard Euler hat sich das in 1637 ausgedacht. Sam DerbyshireWarum beschränkt sich die algebraische Geometrie auf Polynome? Mathematiker starren alle möglichen Funktionen an, aber obwohl sie lebenswichtig sind, lenken ihre Probleme in gewisser Weise die Aufmerksamkeit auf sich und lenken von den grundlegendsten Mysterien der Beziehung zwischen Geometrie und Algebra ab. Durch die Begrenzung der Breite ihrer Untersuchungen können algebraische Geometer tiefer in diese Rätsel eindringen. Sie tun dies seit Jahrhunderten, und inzwischen beherrschen sie Polynome, um ehrlich zu sein: Die algebraische Geometrie hat sich zu einem hocheffizienten Werkzeug für Mengenbegriffe, Kryptographie und zahlreiche alternative Themen entwickelt. Trotzdem ist es für seine ethischen Anhänger eine Katastrophe für sich. Ich habe einmal einen Absolventen in Harvard getroffen und ihn gefragt, was er studieren möchte. Er sagte, man sei sich bewusst, in einem bedeutungsvollen Ton: “Hartshorne”. Er vermutete Robin Hartshornes Lehrbuch “Algebraic Geometry”, gedruckt in 1977. Angeblich eine Einführung in das Thema, ist es, um ehrlich zu sein, ein außerordentlich anstrengender Band. Berücksichtigung der Beschreibung von Wikipedia: Das erste Kapitel mit dem Titel “Arten” befasst sich mit der klassischen algebraischen Geometrie von Arten über algebraisch geschlossenen Feldern. In diesem Kapitel werden viele klassische Ergebnisse der kommutativen Algebra, einschließlich Hilberts Nullstellensatz, anhand der Bücher von Atiyah-Macdonald, Matsumura und Zariski-Samuel als Standardreferenzen vermittelt. Sobald es den Anschein hat, als würden Sie hiervon keine Ahnung mehr haben … Schlau, das ist genau mein Niveau. Um auch das erste Kapitel von Hartshorne zu durchdringen, wünschen Sie sich eher ein bisschen Hintergrundwissen. Hartshorne zu lesen bedeutet, sich mit Jahrhunderten von Genies zu beschäftigen, die so unmittelbar wie möglich arbeiten. Stehend, gewürfelt: Genau hier befindet sich Cayleys kubische Knotenfläche. Es ist großartig, dass die Vielfalt mit den meisten Knoten (diesen spitzen Dingen), die durch eine kubische Gleichung beschrieben wird, weit entfernt ist. Die Gleichung lautet (xy yz zx) (1 – xy – z) xyz=0 und ist als “kubisch” bekannt, da wir heutzutage höchstens drei Variablen multiplizieren Hartshornes Dissertationshandbuch, Alexander Grothendieck. Von ungefähr 1960 bis 1970 revolutionierte Grothendieck die algebraische Geometrie als Teil einer epischen Suche nach der Verkleidung der Weil – Vermutungen, die Arten von Lösungen für bestimmte Probleme aufdecken Mengenbegriff. Grothendieck vermutete, dass die Weil-Vermutungen außerdem sehr geschickt beigelegt werden können, indem der Hyperlink zwischen Geometrie und Algebra gestärkt und vertieft wird. Er hatte eine konkrete Vorstellung, wie sich dies zudem besonnen beweisen könnte. Dennoch erforderte die Präzisierung dieses Begriffs einen enormen Arbeitsaufwand. Um es herauszuhalten, begann er ein Seminar. Er hielt fast täglich Vorträge und engagierte einige der besten Mathematiker in Paris. Lassen Sie uns einen Mathe-Athon zusammenstellen: Alexander Grothendieck in seinem Seminar. Sie arbeiteten ein Jahrzehnt lang ohne Unterbrechung und produzierten Hunderte von Seiten mit so viel wie Datumsmathematik, vollgepackt mit umwerfenden Ideen. Grothendieck gelang es im Zuge der Ausnutzung dieser Strategien, die gesamten Weil-Vermutungen, abgesehen von der abschließenden, härtesten, zu beweisen. Ein Schüler von ihm polierte das, was Grothendiecks Schock würdig war. Trotz der Tatsache, dass er das französische College für algebraische Geometrie beherrschte, hielten viele Mathematiker seine produktivsten Jahre für die Strategie von Grothendieck für „zu zusammenfassend“. Dies klingt ungewohnt, wenn man bedenkt, wie zusammenfassend die gesamte Mathematik ist. Unbestreitbar ethisch ist, dass es Zeit und Arbeit braucht, um seine Strategien aufzugreifen. Als Student schlug ich einige von ihnen vor, da ich mich bemühte, Physik zu lehren: Auch dort arbeiteten Jahrhunderte von Genies im vollen Tempo, und jeder, der versuchte, die Schneide zu erkennen, hat zahlreiche Fangmöglichkeiten, die sich so gut wie zusammensetzen. Später in meinem Beruf führte mich mein Studium jedoch zu Grothendieck. Hätte ich einen offensichtlichen Kurs eingeschlagen, wäre ich nicht in der Lage gewesen, mich mit seiner Arbeit auseinanderzusetzen, indem ich die Saitenvorstellung erfunden hätte. Stringtheoretiker postulieren, dass es unter Berücksichtigung der betrachteten Dimensionen von Eigentumswohnung und Zeit – drei von Eigentumswohnung und eine von Zeit – zusätzliche Dimensionen von Eigentumswohnung gibt, die zu klein zusammengerollt sind, um sie zu studieren. In einigen ihrer Theorien vermitteln diese zusätzlichen Dimensionen eine Vielfalt. Also, Stringtheoretiker beschaffen sich mühelos ausgefeilte Fragen zur algebraischen Geometrie. Und das wiederum zieht sie gegen Grothendieck. Ich habe mich zusammengerollt: Ein Bruchteil einer expliziten Vielfalt, die als “Quintic Threefold” bezeichnet wird und sogar die zusätzlichen zusammengerollten Dimensionen von Eigentumswohnungen in String-Begriffen bestätigen kann. Zweifellos sind einige der besten Werbespots für den Begriff “Zeichenfolge” keine erfolgreichen Vorhersagen mehr für experimentelle Ergebnisse – es wurden keine vollständigen Vorhersagen getroffen -, sondern vielmehr das Potenzial, Probleme in der reinen Mathematik, einschließlich der algebraischen Geometrie, zu lösen. Zur Veranschaulichung: Der Begriff “Saite” ist erstaunlich gut geeignet, um die Anzahl der Kurven verschiedener Arten zu bestimmen, die Sie anscheinend gut auf bestimmte Arten zeichnen können. Daher starren wir jetzt Stringtheoretiker an, die mit algebraischen Geometern sprechen und bereit sind, mit ihren Einsichten das Gegenteil zu schockieren. Mein Hobby bei Grothendieck war offensichtlich. Ich hatte wiederholt ernsthafte Zweifel an der Vorstellung von Saiten, und das Zählen von Kurven nach Arten ist der letzte Faktor, den ich jemals versuchen würde: Ich mag das Klettern auf Felseneis, es ist anstrengend, es zu sehen, aber zu provozierend, wenn die Wahrheit gesagt wird, wenn ich es selbst versuche. Es stellt sich heraus, dass die Strategien von Grothendieck so umfassend und hocheffizient sind, dass sie sich über die algebraische Geometrie hinaus auf viele andere Themen auswirken. Sein 50 – unveröffentlichtes Manuskript Pursuing Stacks, geschrieben in 1983, hat mich immens beeinflusst. Darin argumentierte er, dass die Topologie – sehr grob gesagt, die Spekulation darüber, wie eine Eigentumswohnung überhaupt gebildet wird, wenn es uns nicht darum geht, sie zu biegen oder zu dehnen – sogar vollständig auf Algebra reduziert wird ! Zu Beginn mag dieser Begriff außerdem sachlich klingen wie algebraische Geometrie, wobei wir der Algebra beibringen, geometrische Formen wie Kurven oder höherdimensionale Arten zu bestätigen. Nichtsdestotrotz hat die „algebraische Topologie“ letztendlich ein außerordentlich unterschiedliches Aroma, das sich aus der Topologie ergibt. Wir beschränken unsere Formen nicht darauf, durch Polynomgleichungen beschrieben zu werden. Als Ersatz für schöne Edelsteine ​​sehen wir uns mit schlaffen, vielseitigen Blobs konfrontiert – die zusätzliche oder weniger benötigte Algebra ist also vielfältig. Sobald es scheinbar so ist, musst du es außerdem beschreiben: Mathematiker haben in der Regel ein zotteliges Hundeepos, dass ein Topologe die Anpassung zwischen einem Donut und einer Espressotasse nicht beschreiben kann. WikimediaAlgebraic Topology ist ein blendendes Gebiet, das es schon lange vor Grothendieck gegeben hat – aber er hat sich zu einem von vielen gewandelt, die ernsthaft einen Modus vorgeschlagen haben, um die gesamte Topologie auf Algebra zu reduzieren. Dank meiner Arbeit an der Physik änderte sich sein Vorschlag zu einem gewaltigen Aufwand, nachdem ich ihn hier gefunden hatte. Hier ist der Grund: Zu der Zeit, als ich versucht hatte, unsere beiden besten Theorien der Physik zu vereinen, waren dies die Quantenphysik, die die Gesamtkräfte neben der Schwerkraft beschreibt, und die allgemeine Relativitätstheorie, die die Schwerkraft beschreibt. Es scheint, dass unsere Ausarbeitung der grundlegendsten lizenzierten Richtlinien der Physik unvollständig ist, wenn wir dies nicht zusammenbauen. Dennoch ist es zweifellos teuflisch weit fortgeschritten. Eine Ursache ist, dass die Quantenphysik im Wesentlichen vollständig auf Algebra basiert, während die allgemeine Relativitätstheorie zahlreiche Topologien umfasst. Gleichwohl bedeutet dies eine Angriffsstraße: Wenn wir in der Lage sind, einfache Programme auszuwählen, um die Topologie der Algebra zu verringern, müssen wir einen Begriff der Quantengravitation formulieren. Meine Physikkollegen werden genau hier ein Geheul ausstoßen und eine Schlampe, die ich zu stark vereinfache. Sicher, ich bin zu stark vereinfacht: Die Quantenphysik hat mehr zu bieten als nur Algebra und die Relativitätstheorie insgesamt mehr als nur Topologie. Nichtsdestotrotz haben mich die vorstellbaren Vorteile der Herabsetzung der Topologie auf die Algebra für die Physik dazu veranlasst, über Grothendiecks Arbeit nachzudenken. Ab den (**********************************************************…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Einige Mathematiker entdecken diese Ideen als das anstrengende Segment der algebraischen Geometrie. Sie erscheinen mir jetzt wie das einfache Segment. Das anstrengende Segment, für mich, sind selten mehr diese zusammenfassenden Vorstellungen, aber die kleinsten Einzelheiten. Erstens kann es sein, dass die Texte, die Hartshorne als Vorschrift verwendet, den gesamten Stoff enthalten: „die Bücher von Atiyah-Macdonald, Matsumura und Zariski-Samuel“ – in kurzen Worten, Haufen und Berge von Algebra. Dennoch kann es darüber hinaus wertvolles Extra geben. Die mysteriösen Symbole gaben den Einfluss von Zaubersprüchen. Und in einem Modus sind sie. Wissenschaft ist die Magie, die funktioniert, wenn man die Wahrheit sagt. Also, während ich jetzt einiges davon zeige, was es braucht, um Hartshorne zu lesen, außer dass ich mich momentan zu eingeschüchtert gewandelt habe, um es zu lehren. Ein Schüler der Physik verlangte einmal ein fantastisches Wissen darüber, wie wertvoll die Mathematik ist, die ein Physiker wissen möchte. Der Sachkundige sprach zurück: „Mehr.“ Natürlich wird die Aufgabe des Studiums der Mathematik in keiner Weise erfüllt, daher konzentriere ich mich auf die Dinge, die am wichtigsten und / oder am angenehmsten erscheinen. Bis zum Ende eines Jahres stand die algebraische Geometrie auf keinen Fall an der Spitze der Liste. Was geändert? Mir wurde klar, dass die algebraische Geometrie mit der Beziehung zwischen klassischer und Quantenphysik zusammenhängt. Klassische Physik ist die Physik von Newton, in der wir uns vorstellen, in der Lage zu sein, das gesamte Los mit vollständiger Präzision zu messen, ein Minimum an Vorgabe. Die Quantenphysik ist die Physik von Schrödinger und Heisenberg nach dem Ungewissheitsgebot: Wenn wir einige Facetten einer Körpermaschine mit vollständiger Präzision messen, müssen andere unbestimmt bleiben. Zur Veranschaulichung hat jedes sich drehende Objekt einen „Drehimpuls“. In der klassischen Mechanik wird dies als Pfeil entlang der Rotationsachse dargestellt, dessen Maß proportional zur unmittelbaren Drehung des Artikels ist. In der klassischen Mechanik bevorzugen wir es, diesen Pfeil präzise messen zu können. In der Quantenmechanik – eine zusätzliche sachliche Beschreibung der Wirklichkeit – erweist sich dies nicht mehr als ethisch. Zur Veranschaulichung: Wenn wir alle wissen, wie weit der Pfeil in der x-Richtung liegt, können wir nicht wissen, wie weit er in der y-Richtung liegt. Diese Unsicherheit ist zu gering, um für einen sich drehenden Basketball wahrgenommen zu werden, aber für ein Elektron ist sie von entscheidender Bedeutung: Die Physiker hatten die meiste Aufmerksamkeit auf sich gezogen, als sie das grobe Herausarbeiten von Elektronen vorgenommen haben, außer sie haben dies in epische Dimensionen verwandelt. Außerdem in Mathe Zufälle verfolgen Von Amir D. Aczel Zu jeder Zeit, nachdem ich überflogen habe, liebe ich es, mit der Person, die neben mir sitzt, nach dem Vorschlag zu suchen. Ich stelle gleich nach einiger Zeit fest, dass wir alle mindestens eine Person kennen. Sobald Sie wie ich sind, passieren vermutlich ähnliche Zufälle … LESEN SIE MEHR  Physiker über den Wunsch, klassische physikalische Fragestellungen zu „quantifizieren“. Das heißt, sie starten mit der klassischen Beschreibung einer Körpermaschine und möchten daher die Quantenbeschreibung auswählen. Es gibt dafür selten mehr einen vollständig umfassenden und vollständig systematischen Ablauf. Das wäre zudem besonnen nicht mehr elegant: Die 2 Weltanschauungen sind so unterschiedlich. Auf der anderen Seite gibt es funktionale Rezepte für die Quantisierung. Die systematischsten entdecken zu einer außerordentlich eingeschränkten Entscheidung physikalischer Fragen. Zur Veranschaulichung, normalerweise in der klassischen Physik, sind wir in der Lage, eine Maschine durch eine Ebene in einer Vielfalt zu bestätigen. Genau hier ist selten mehr etwas, was man insgesamt erwartet, aber es passiert zweifellos in zahlreichen lebenswichtigen Fällen. Beachten Sie zur Veranschaulichung ein sich drehendes Objekt: Wenn wir reparieren, wie lang sein Drehimpulspfeil ist, kann der Pfeil in jede Richtung waagerecht ausgerichtet werden, sodass seine Spitze auf einer Kugel liegen muss. So sind wir in der Lage, ein sich drehendes Objekt durch eine Ebene auf einer Kugel zu bestätigen. Und diese Kugel ist voll und ganz eine Vielfalt, die „Riemann-Kugel“, benannt nach Bernhard Riemann, einem der vielen feinsten algebraischen Geometer der hochsymmetrisches Beispiel für eine „Diversität“: eine Form, die durch Polynomgleichungen beschrieben wird. Die algebraische Geometrie begann als Blickwinkel solcher Formen. Abdelaziz Nait MerzoukWenn ein klassisches Physikfeld durch eine Vielfalt beschrieben wird, geschieht etwas Magisches. Das Quantisierungssystem wird vollständig systematisch – und überraschend einfach. Es gibt viel mehr oder weniger einen umgekehrten Weg, den man als “Klassifizierung” bezeichnen kann, mit dem man die Quantenbeschreibung in eine klassische Beschreibung umwandeln kann. Die klassischen und quantenmechanischen Ansätze der Physik werden eng miteinander verknüpft, und man kann aus beiden Richtungen Strategien auswählen und das Gegenteil bejahen. Zur Veranschaulichung beschreibt jede Ebene der Diversität nicht mehr das aufmerksamkeitsstärkste Abgeben der klassischen Maschine (in unserem Beispiel eine bestimmte Richtung für den Drehimpuls), sondern darüber hinaus das Abgeben der entsprechenden Quantenmaschine – obwohl dies der Fall ist Letzteres unterliegt dem Ungewissheitsgebot von Heisenberg. Die Quantenabgabe ist die „feinste Quantennäherung“ an die klassische Abgabe. Noch besser ist, dass auf diesem Gebiet zahlreiche der grundlegendsten Theoreme über die algebraische Geometrie sogar als Tatsachen über die Quantisierung betrachtet werden. Da Quantisierung eine Sache ist, die ich außerordentlich lange ernst genommen habe, freue ich mich sehr darüber. Richard Feynman hat einmal erklärt, dass er, um die Entwicklung auf einem blumigen Gebiet der Physik zu planen, eine bestimmte Einstellung dazu entwickeln wollte: […] Ich muss, wenn man die Wahrheit sagt, denken, dass ich, wenn man die Wahrheit sagt, etwas mehr oder weniger bekomme innere Musik auf diesem Gebiet. Das heißt, ich muss ehrlich sagen, dass ich Talente besorge, die die anderen nicht ausnutzen oder die Strategie verfolgen, ein Studium zu absolvieren, und dass sie nicht länger dumm sind, diese schöne Technik zu sehen, um daran zu lernen . Ich muss, wenn die Wahrheit gesagt wird, denken, dass ich, wenn die Wahrheit gesagt wird, aus irgendeinem Grund ein bisschen mehr Wahrscheinlichkeit habe als die anderen. Ich weiß in meinem Herzen, dass die Ursache anscheinend betrügerisch ist und dass sich die explizite Einstellung, die ich damit einnehme, in Gedanken geändert hat, um von anderen zu sein. Ist mir egal Ich täusche mich zu denken, dass ich, wenn man die Wahrheit sagt, eine zusätzliche Wahrscheinlichkeit habe. Dies wäre im Übrigen das, was mir bis jetzt an algebraischer Geometrie gefehlt hätte. Es ist klar, dass algebraische Geometrie selten mehr ein zu lösendes Sachgebiet ist, es ist ein Körper aus Schallplatten – aber es ist zweifellos ein solch kolossaler, einschüchternder Körper aus Schallplatten, dass ich es nicht gewagt habe, ihn zu formen, außer ich habe eine innere Musik gekauft. Jetzt werde ich Hartshorne lesen, einige der Ergebnisse in Fakten über die Physik übersetzen und das Gefühl haben, dass ich, wenn man die Wahrheit sagt, eine Wahrscheinlichkeit habe, dieses Zeug auszuarbeiten. Und es ist ein unermessliches Gefühl. John Baez ist Professor für Mathematik an der University of California in Riverside und Gastwissenschaftler am Centre for Quantum Applied Sciences in Singapur. Er bloggt über Mathematik, Naturwissenschaften und Umweltfaktoren bei Azimuth. Seien Sie sich seiner auf Twitter @ johncarlosbaez bewusst. Lead Image Collage Credit: agsandrew / Shutterstock
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